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社団法人日本電気技術者協会 電気技術解説講座 文字サイズ変更ヘルプ
Presented by Electric Engineer's Association
電験第二種「理論」問題の研究 =2導体球間の静電容量と電気抵抗=  元東京電機大学短期大学教授 間邊幸三郎

質問
 電験二種を目指して勉強している者です。理論の勉強中、過去に出題された次の問題に遭遇しました。解答のとっかかりがつかめず苦労しています。この問題の解き方をご指導ください。

問題の内容をより具体的に知ること

 。繊■体承紊箸眛蛎里任討た球である。(第2図の左図
◆〔簑蠅痢屬燭世圭颪」にあるように、両球の位置関係は球の大きさに比べて十分離れている。しかも、両球をとりまく空間は誘電体あるいは電気抵抗体という物質に満たされている。(第2図の右図


解き方のフロー

(1) 《静電容量》 静電容量=電気量/電位差 の関係に注目する。すなわち、両球を電極として、たとえば、A球に+ [C]、B球に−[C]の電荷をそれぞれ与えて両球間にできる電位差ABを計算すれば、静電容量はABで求まる。
 《電位差の計算》 両球の位置関係が第2図のようであるということは、A球の周囲の電界はB球の電界の影響を受けないということを意味する。また、その逆のこともいえる。 したがって、A球の電位は、A球が単独で存在したときの電位に等しく、A球に+[C]の電荷を与えた場合の電界を電気力線で表現すると第3図(左図)のようになる。ガウスの定理により導体球から出る電気力線の総数はε[本]で、球表面から放射状に均等に出てゆく。一方、第3図右図のように、+[C]の点電荷から出る電気力線もε[本]で、電荷から放射状に均等に出てゆく。このことから、導体球の電気力線分布は、第4図に示すように、点電荷から[m]の点より外側と同じ分布であることになる。

 したがって、A球の電位VAは球表面の電位に等しく、第4図で考えれば、点電荷から距離[m]の点の電位に等しい。したがって、

となる。
 同様に、B球の電位VBは、

となる。
 この結果、AB間の電位差VABVAからVBを引けばよく、

となる。以上のことから求める静電容量C は、

(2)電気抵抗の計算
 今度は第2図において、AB両球の周囲が導電率σ の物質で満たされているとして、両球を端子として両端子間の電気抵抗を計算すればよい。
 両球が第2図のような位置関係にあることから、たとえば、A球から流れ出る電流は球表面からどの方向にも均等に放射状に流れてゆくので、球の中心から[m]のところでdx の長さの部分の抵抗dR は、この部分は第5図の斜線部にあたるので、



 B球についても電流の流れる方向が逆であることのほかはA球と同じであり、その抵抗RB は、

となる。
 したがって、AB両球間にはRARBが直列接続されていると考えられるので、求める電気抵抗RABは、

となる。


答案

(1) A球に+[C]、B球に−[C]の電荷を与えたとき各球の周囲にできる電界は、両者の位置関係から他の導体球の影響を受けないとみなせるので、各球の電位は孤立導体球の電位と考えてよく、A球の電位VAは、




となる。同様に、B球の電位VB は、

となる。AB間の電位差VAB は、VAVB で求められるから、

 したがって、AB両球間の静電容量C は、

となる。

(2) AB両球間が導電率σ の抵抗体で満たされている場合、球中心から[m]の点で長さdx の部分がつくる電気抵抗dR は、

 したがって、A球周辺の抵抗RA は、

 同様に、B球周辺の抵抗RB は、

であり、AB両球間にはこれらの抵抗が直列接続されていると考えられるので、その抵抗RAB は、

答 (1)AB両球間の静電容量 C

(2)AB両球間の電気抵抗 R

きちんと理解しておくこと

 ‘蛎竜紊里弔る電界は、上記の説明でわかるように点電荷の電界と同様に考えられるのて、電位計算も点電荷の計算に準じて行える。第6図に示す同心導体球の場合について考えてみる。図において、中心部にある半径の球を内球と呼び、半径の球の内部を半径 の球に相当する部分をくりぬいたものを球殻と呼ぶことにする。いま、内球に+[C]の電荷を与えた場合の同心導体球の電位を求めてみよう。
 この場合の電界は、内球の中心に点電荷を置いた場合の電界と同じ電界と考えればよいので、同心導体球の電位(内球の電位) は、ab 間の電位差と∞間の電位差(の電位)を加えればよい。具体的には は次式のように、比較的簡単に求めることができる。

◆,海量簑蠅療徹椋垢侶彁擦論気靴計算できたでしょうか。
この問題の場合の各球の電位は、VA>0、VB<0なので、両者は第7図のような関係になるので、AB間の電位差VABは(3)式のように計算しないといけない。単純に引き算をする例が多いので注意が必要である。


参考になること

  崚填砲侶曽に関係なく、

RC=ε/σ             (10)

が成立する。」という関係がある。

 第8図のように、電極面積の平行平板電極間に、断面積、長さの材料が満たされているとき、(10)式が成立することを確かめてみよう。
 この場合の静電容量 C は、    
電氣抵抗R は、




◆ 複隠亜房阿隆愀犬鮑能蕕ら知っておれば、問題(2)の電気抵抗計算は、(10)式の関係を利用して、 次のように求めてもよい。    



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