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社団法人日本電気技術者協会 電気技術解説講座 文字サイズ変更ヘルプ
Presented by Electric Engineer's Association
電験のための数学(1)一次方程式と因数分解 東京電気技術高等専修学校講師  福田 務

 電気の問題を解くためには数学の知識がなければならない。電気は好きだが数学が苦手という人の原因は、数学の基礎を理解しないまま先に進んでしまったことに原因がある。このシリーズでは電験三種国家試験に出題されている計算問題が理解・解答できるように、数学のいろいろな重要分野の中から、特に電気に応用される内容について順次解説する。

 1 一次方程式の計算について

 方程式は、代数を用いて等式を組み立てたものである。ここで、代数というのは、数の代わりということである。3とか5とか数を決めてしまうと、ほかの数の場合には利用できなくなるので、それでは一般的な性質を調べるのに困るから数量を決めないために、XとかYなどの文字を数の代わりに用いる。

 代数はそれだけでなく、答のわからない場合に、その答となるべき数(未知数ともいう)をEとかIとかなどの文字で書いて方程式を作り、その式から問題を解くことができる。方程式というのは未知数のある等式のことである。

 等式というのは、7X-3=3X+5のように等号(=)で結ばれた式をいう。

 一次方程式とは、未知数「元」が1つのものをいう。さらによく使われる一次方程式には、一元一次方程式と、二元一次方程式とある。

 一元一次方程式は  6X+15=2X+35のように未知数(X)が1つであるが

 二元一次方程式は   formula001 formula001  のように未知数(XY)が2つある。

 このように複数個の方程式を組み合わせたものを連立方程式という。

2 一元方程式と二元方程式の解き方の違い

 上記の二元方程式ではXを求めようとすればYが邪魔になり、Yを求めようとすればXが邪魔になる。そこで、Xを求めるためにはYをなくさなければならない。なくすことを「消去する」という。

 電気の問題を解く場合、まず問題文を読んで方程式を作り上げることが特に大切になる。

3 電気の問題に対する方程式の使い方の例

 (1)第1図に示す電気回路で、スイッチSを開いたとき、端子電圧abは100Vあり、スイッチSを閉じて10Aを流したら、95Vになったという。この回路において、端子電圧が92Vになっているとすれば、負荷に流れている電流は何〔A〕になっているか。

 〔考え方〕 端子電圧abV〔V〕として、負荷に流れる電流をi〔A〕とすると、次式が成り立つ。

 V=Eri

  この式において、Sを開いた時、すなわちi=0のときのV=100Vと、i=10AのときのV=95Vの条件から、Eおよびrの値を求める。次に、端子電圧が92Vになったときのiの値を求める。

 〔解き方〕 スイッチSを開いて、i=0のときはV=100Vである。

 またスイッチを閉じて、i=10Aを流したとき、V=95Vとなるから、

  95=100-r×10 となり、 10r=100-95=5  ∴ formula002 formula002

 次にV=92Vのときのiの値を求める。E=100Vr=0.5Ωが得られたから、

  92=100-0.5i となり、 0.5i=100-92=8  ∴ formula003 formula003

 となる。

 (2)第2図の回路において、スイッチSが開いているときの抵抗Rの両端の電圧は6Vであった。Sを閉じると、抵抗Rの両端の電圧は4Vになった。このとき、電源電圧Eと抵抗Rの値を求めよ。

 〔考え方〕 連立方程式を作る

 この問題の考え方の基本は、スイッチSが開いているとき、スイッチが閉じているとき、それぞれの場合の方程式を立てる。

 スイッチSが開いているときの回路は、第2図のように抵抗の直列回路になる。流れる電流に注目すると、 formula004 formula004 〔V〕なので、電流は formula005 formula005 〔A〕となる。

 またこの電流は formula006 formula006 を流れる電流でもあるから、 formula007 formula007 ・・・① がなりたつ。

 一方、スイッチが閉じているときの回路は、第3図のようになるが、これも3Ωに流れる電流に注目して方程式をたてる。この場合、3Ωの電流は formula008 formula008 〔A〕であり、この電流は formula009 formula009 と2Ωの電流の和になるから次式が成り立つ。

formula010 ・・・②
formula010 ・・・②

 〔解き方〕

 ①、②の2個の連立方程式を文字を消去しやすいように変形し、③、④のように整理する。

  formula011 formula011 ・・・③          formula012 formula012 ・・・④

 ③、④式から formula013 formula013 を消去すると、  formula014 formula014   18+6R=12+10R

  10R-6R=18-12  ∴ formula015 formula015  この値を③式に代入すると、

   formula016 formula016  となり formula017 formula017 が求められる。

4 式の展開

 積(掛け算)の形の式を、和(足し算)と差(引き算)の形の式にすることを式の展開という。式の展開の重要な公式をあげると、次のようになる。

 ○ 共通因数a(xyz)=axayaz

 ○ 和と差の平方(ab)2=a2+2abb2   (ab)2=a2-2abb2

 ○ 和と差の積(ab)(ab)=a2b2

 ○ 一次式の積(xa)(xb)=x2+(ab)xab

 (axb)(cxd)=acx2+(adbc)xbd

5 因数分解

 因数分解とは、式の展開の逆の操作をすることである。

 例えば、a2+2abb2がわかっており、これを(ab)2にすることを因数分解するという。したがって、因数分解をマスターするためには、上記に示した式の展開と公式を、左辺から右辺へ、また右辺から左辺へ、順逆よく学習しておく必要がある。方程式を解くときに経験したように、答を出すまでには、式を変化させるわけであるが、式の変化の上手下手が早く答を出せるかどうかに影響するので、上手に行なえるように訓練しよう。

 因数分解の手順は、次のように行う。

 ① 共通因数がある場合は早く、かっこでくくり出す。

 ② 因数分解の公式が適用できるかどうかを調べる。

 ③ 公式がすぐ適用できない場合は、少し工夫して式を変形し、整理し因数分解できる形にする。

 このような手順で因数分解するわけであるが、多少の直感と熟練を必要とする。

 6 電気の問題に対する因数分解の使い方の例

 (1)第4図のように、2個の抵抗R1R2がある。この抵抗を直列に接続したときの合成抵抗は50Ω、並列に接続したときの合成抵抗は12Ωである。2個の抵抗の抵抗値はいくらか。

 〔考え方〕

 2個の抵抗をR1R2とすると、次の二式が成り立つ。

    直列接続   R1R2=50・・・①

    並列接続    formula018 formula018 ・・・②

 これより式を変形して、因数分解によりR1R2を求めればよい。

 〔解き方〕

    ①式のR1を右辺に移す  R2=50-R1・・・③

    ②式に①式および③式を代入する

formula019  両辺に50を掛けて式を展開すると、
formula019  両辺に50を掛けて式を展開すると、

 50R1R12=12×50 移行して整理すると、

 R12-50R1+600=0・・・④

 ① 式の左辺を X2+(ab)Xab=(Xa)(Xb) の公式を使って因数分解すると、 a=-30b=-20 の組み合わせのとき満足するから④式は、

 (R1-30)(R1-20)=0・・・⑤ と因数分解できる。

 ② 式によりR1-30=0またはR1-20=0 が得られるので,

      R1=30Ω または R1=20Ωとなる。

 したがって③式より、以下の答が得られる

        formula020 formula020  または  formula021 formula021

 (2)4個の抵抗を第5図のように接続し、電圧100Vを加えておきスイッチSを開閉しても流れる電流は30Aであったという。R1R2の抵抗値を求めよ。

 〔考え方〕

 電源電圧100Vと全電流30Aから、回路の合成抵抗の値が求まるから、スイッチSを開いたとき、閉じたときそれぞれの場合の合成抵抗を求めて式を立てる。

 得られた二式から、因数分解できる式に変形し、答を導く。

 〔解き方〕

 オームの法則により、回路の合成抵抗値R0は R0= formula022 formula022

 Sを開いたときの合成抵抗は、 formula023 formula023 となるから、

   10(12+R1R2)=3(8+R1)(4+R2)  さらに式を整理すると、

  3R1R2+2R1+14R2-24=0・・・①

 さらにSを閉じたときの合成抵抗は、  formula024 formula024 となるから、

 両辺に formula025 formula025 を掛けると  formula026 formula026

 この式を整理すると、

  3R1R2-2R1-2R2=0・・・②

 ①、②式からR1R2を求めればよい。例えば②式より、

   R2(3R1-2)=2R1  ∴ formula027 formula027 と表し、これを①に代入する。

formula028
formula028

 さらに両辺に(3R1-2)を掛けると、

 6R12+2R1(3R1-2)+28R1-24(3R1-2)=0

 これを整理すると、

 12R12-48R1+48=0

 したがって R12-4R1+4=0 を因数分解すると、

 (R1-2)2=0 が得られるから、  抵抗値R1=2Ω

 R1=2 formula029 formula029 式に代入すると、

 抵抗値 formula030 formula030  となる。



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