私たちが扱う電気回路は、電圧や電流などの電気的諸量を時間の関数として表す。そしてこれらの時間関数（t関数）からなる回路方程式（微分方程式）を解くのであるが、この方程式にラプラス変換という数学的操作を加えて別の関数（s関数）に変換し、s関数相互間の関係として計算し、その計算結果（s関数）を、ラプラス逆変換という数学的操作によりt関数に戻して答を知ろうというのである。その計算のイメージは第１図のようになる。

　例えば、抵抗RとインダクタンスLとの直列回路に直流電圧Eを印加した場合、回路に流れる電流ｉを求めるというケースついて示すと、その計算の流れは第２図となる。

　したがって、ラプラス変換による「電気回路の解き方」の計算手順は次の４ステップである。

　手順１　対象となる回路について、t関数による電圧方程式を立てる。（電圧方程式）

　手順２　電圧方程式の諸量をラプラス変換し、s回路方程式をつくる。（ラプラス変換）

　手順３　s回路方程式を求めている量のs関数X（s）について解く。（s回路計算）

　手順４　X（s）をラプラス逆変換して、答であるx（t）を得る。（ラプラス逆変換）

　いま、時間関数 があるとき、

のように計算したものを のラプラス変換という。

　つまり、 を「t＝0から∞まで時間積分する」という数学的な加工を施したものを「f(t)のラプラス変換」と呼ぶことにするのである。

　ラプラス変換の計算イメージとしては、例えばf(t)が一定値Aであった場合は、そのラプラス変換は第３図のようになり、図中の緑色部がラプラス変換した値となる。

　計算式によれば、

となる。したがって、この計算例から分かるように、ラプラス変換の計算結果は、一般的にsの関数となるので、これからは のラプラス変換を と表すことにする。つまり、

　である。

(１)　時間関数が定数の場合

　 定数の単位量をとりあげ の場合を考える。この場合は第３図においてA＝１の場合なので、そのラプラス変換は次式のようになる。

(２)　時間関数がべき関数の場合

　 ① の場合は、部分積分法を使用して次のようになる。

　② の場合は、

(３)　時間関数が指数関数の場合

　 の場合は、

(４)　時間関数が三角関数の場合

　 ① の場合は、

　の関係にあるので、

　② の場合は、

　の関係にあるので、

(５)　時間関数が双曲線関数の場合

　①　 の場合は、

　の関係にあるので、

　②　 の場合は、

　の関係にあるので、

　以上の計算で分かるように、時間関数をラプラス変換すると、その結果はsの関数となる。このため最も一般的な表記として、前にも述べたように時間関数f(t)のラプラス変換値をF(s)とする表記するのである。

　つまり、

　である。

　(６)　時間関数が微分形関数の場合

　①　 の時間微分 を と表記すれば、 のラプラス変換は部分積分法により、

　上式で は のt ＝0における値を表し、 の初期値という。

　［例］　時間関数が電流 である場合は、（３１）式から、次式となる。

　②　時間関数が２階微分形である場合は、

(７)　時間関数が積分形関数の場合

　①　ラプラス変換の対象が の時間積分である の場合は、これを と表記すれば、 は部分積分法により、次のように計算される。

　［例］　時間関数が電流 である場合は、（４０）式から次式となる。

　②　時間関数が２階の積分形である場合は、

　なお、ラプラス変換の表記には次のような方法もある。

　ここに、 は「 の後にある の中にある時間関数をラプラス変換したもの」を表す。

　 はラプラス演算子（ラプラシアン）と呼ぶ。これまでの例でいえば、

のように表記する。

　これまでに扱った関数をまとめると第１表のようになる。

　すべての時間関数に共通なラプラス変換の性質を第２表に示す。

　(１)　ラプラス変換の定義を知る。参考：計算イメージ

　(２)　ラプラス変換計算法の仕組みを理解する。第２図。

［計算手順］　①　電圧方程式　②　ラプラス変換 ③　s回路計算 ④　ラプラス逆変換　の４ステップ。

　(３)　電気工学で使用頻度の高い時間関数（主要関数）について、t関数からs関数に変換する計算の方法を理解し、その結果をしっかりと記憶しておく。（第１表）

　(４)　ラプラス変換に関する諸法則（基本法則）について、具体的な時間関数への応用の方法を知っておく。