いま方程式 を解こうとして、 と答えが出てしまえば、これは解けないと考えてしまうであろう。この場合、 とあえて求めたとしても、負の数の平方根は日常生活で使うことはないから、別世界のものととして数の仲間から除外してしまいたくなる。
　ところが、実はこの別世界の感じのする という数が、交流回路の計算にすばらしい威力を示すのである。なぜなのか、考えていくことにしよう。

　この日常生活と関係のない という数をなんとか役に立たせようと考えて成功させたのは、数学者のガウス（1777〜1855）であり、電気工学者のスタインメッツである。
　この を虚数と呼んで一応、数の仲間に入れる。いちいち と書く代わりに数学では虚数（imaginary number）の頭文字をとってiと表現している。ところが、電気工学では困ったことにiといえば電流の記号に決まっているため混乱するおそれがある。そこで、まぎらわしさを避けてiの次のjという記号を使って虚数を表している。
　根号の中が負になる数はみな虚数であるが、特に は、 や の基本になる虚数という意味で虚数単位と呼んでいる。例えば、 のように書く。

　 のもつおもしろい性質を紹介しよう。それは虚数 に対して、 を順々に掛けていくと、その度ごとに虚数になったり、実数になったりすることである。
　 例えば、 （虚）⇒　 × ＝ ＝−１（実）⇒　−１× ＝− （虚）⇒　— × ＝— ＝—（−１）＝１（実）⇒　１× ＝ （虚）⇒　・・・・・
　　このような性質を、電気の計算にうまく利用しようというのが、虚数を使う大きなねらいなのである。希望はベクトル図を を用いた数式で表したいのである。そこで考え出されたのが、ガウスによる を書き込めるような座標平面である。
　みなさんは、座標といえば、中学校以来なじみの深い、X 軸 とY軸をもった座標を思い浮かべるかもしれない。ところが、この座標上の点は、みんな実数の点しかおくことができないため という虚数の入り込む余地はない。そこで、少しだけこの実数座標を改良して、 をおくことのできる座標を考えたのがガウスによる複素平面である。複素平面は縦軸を虚数 の目盛にして、横軸を実数の目盛にした一風変わった座標平面である。
　この をのせる独特の座標平面を複素平面（あるいはガウス平面）と名付けているが、これを使えば、１個のベクトルは一つの数式で表現できる。今まで慣れてきた実数だけのXY座標面と比べてみると奇妙な感じがするかもしれないが、ベクトル図を数式表現するためにはもってこいの座標面なのである。

　複素平面は第１図のように縦軸を虚数 の目盛に、横軸を実数の目盛にしたものであるが、この座標面のおもしろいことは、ある長さの実数に を掛ける度に、座標上の位置を時計と反対周りに90°ずつ回転をするという性質にある。
　発電機はコイルが回転して交流を生み出すが、交流を数学的に処理するのに虚数 が役に立つことはなんとなくイメージできるであろう。 　さて、第1図の長さ B を仮に、ある電流の大きさ B アンペアのベクトルとする。そうすると は、 より90°位相の進んだ電流を表すベクトルになる。 アンペアなんて聞いたこともないなどと考え込む必要はない。つまり大きさ B が電流の実効値で、 は、ただ90°進んでいるという意味をもたせて、付けてあるのだと考えればよい。

　いま、第2図に示すようなコンデンサ と抵抗 の並列回路での合成電流 は虚数 を用いると、どうなるか考えてみよう（ と仮定する）。
　普通に考えて、抵抗を流れる電流 を 〔A〕とすると、コンデンサを流れる電流 は 〔A〕となることがわかる。
　したがって、 〔A〕となる。
　　これは算術和だからベクトル和でなければだめではないか、と思う人がいるかもしれない。 ところがどうだろう、複素平面上におかれた と の大きさをベクトルだと考えることにすると、 は第3図で示されるように、複素平面上でベクトル和を表すことになる。 は算術和のように見えても、実際はベクトル和になることに注目しよう。
　さて は、実数Bと虚数 の付いたふしぎな数であるが、これが複素数と呼ばれる数である。例えば、みなさんも経験がある二次方程式 を解くと、 というふうに、実数±虚数という形になる。結局、複素数というのは、数全体の総まとめに相当する数のことである。複素数はすべて複素平面上に表すことができるし、同時にそれはベクトル表現にもなるのである。まとめておくと、いまベクトル を複素数で表すには、X軸の成分（実数） 、Y軸の成分 を求め、 として第4図のように表現する。なお、 の絶対値は 、偏角 は によって求まる。 　例えば、 を表すには第5図のように、実数軸上の４と虚数軸上の の位置から垂線の交点と原点を結べばよい。このようにすると、ベクトルと複素数が連絡できる。 　ベクトルと複素数に関係する例題をひとつやってみよう。
　〔例題〕　次の複素数で表される電圧のベクトル図を描き、 それぞれの大きさ及び の大きさを求めよ。　 〔V〕 〔V〕
　〔解答〕 電圧の複素数表示をベクトルで示すと第6図のようになる。

　複素数の偏角 は を求めて得られるが、 その複素数が第何象限にあるかを確かめて答え を出さないと、とんだ失敗をすることがある。 例えば、 の偏角 を求めるとき、 から、 が−１になる角度は135°か315°であるが、式が座標面の第2象限にあることを確認して135°を答えとする。（第7図）

〜終わり〜
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