〜終わり〜
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電磁気現象は微分方程式で表され、一般的には微分方程式を解くための数学的に高度の知識が要求される。ラプラス変換は、計算手順さえ覚えれば、代数計算と変換公式の適用により微分方程式が解ける数学知識への負担が少ない解法である。このシリーズでは電気回路の過渡現象や制御工学等の分野での使用を念頭に置いて範囲を限定して、ラプラス変換を用いて解く方法を解説する。今回は、ララプラス変換等価回路を用いた交流過渡現象の解き方を解説する。
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【例題1】 第1図の回路で、CがスイッチSを閉じて短絡された状態にあるとき、t=0でSを開いて短絡電流を遮断すれば、Lにはどんな電流が流れるか。また、Sの極間にはどんな電圧が現れるか。
第1図
【解答】 この場合のｓ回路は第2図となる。
第2図 ｓ回路
図中の電流
は短絡時の定常電流で、
である。
<解法A> ① 電流I（s）、② Sの極間電圧V（s）（=Cの端子電圧
）の順で求める方法。
<解法B> ① 電荷
を求め、得られたqから、② Sの極間電圧
、③電流
の順に求める方法。
電流と電荷の関係は、
であり、s関数上では、電流
と電荷
の関係は電荷の初期値
が零なので、
であり、電荷
は、
ここで、
とおけば、
①
の場合は、
であり、（1･11）式第1項の電荷
は、複素起電力法によれば、
で、そのs関数部は、巻末の変換公式[1]により逆変換され、電荷
は、
となるので、電荷
は、
また、（1･11）式第2項の初期電流による電荷
は、
したがって、求める電荷
は、次式となる。
Cの端子電圧
は、
電流
は、
第3図に電圧と電流の関係を示す。
第3図 電流
②
の場合は、
とおけば、電荷
は、
なので、
の関係にある。
したがって、①の電荷の式である（1･13）式と（1･11）式の右辺第2項について、
を
に置き換えれば、次式のように（1･31）式が得られる。
したがって、
も①の電荷の式である（1･22）式において同じ置き換えをすればよく、求める電荷
は次式となる。
C端の電圧
は、
求める電流
は、（1･28）式中のβをjγに置き換えることで求められる。
第4図に電圧と電流の関係を示す。
第4図 電流
③
の場合は、
。
電荷
の式である（1･11）式にこの条件を代入すると、
C端の電圧vCは、
第5図に電圧と電流の関係を示す。
第5図 電流
【例題2】 第6図の回路が定常状態にあるとき、t=0でSを開いたとすればスイッチSの極間にはどんな電圧が現れるか。ただし、
の関係にあるものとする。
第6図
【解答】 回路各部の電圧や電流を第7図（a）のように定めると、この場合のｓ回路は同図（b）となる。
第7図 ｓ回路
第7図（b）において、R、L、Cから成る閉路の図示の方向の電流I（s）は、
Cの端子電圧VC（s）は、
（2･4）式右辺第2項のs関数部は、巻末の変換公式[2]（2…7）式により次のように逆変換できる。
この結果、Cの端子電圧vCは、
となるので、Sの極間電圧
は、
いま、次のような回路条件にあったとすれば、
また、
と仮定すれば、
なので、Sの極間電圧vは
となる。この結果、この場合の電圧vのグラフは第8図となる。
第8図 電圧波形
第1表 双曲線関数とその性質
変換公式[1] 例題1の逆変換式の求め方（β>0）
次の変換公式を利用すると、
となるので、（1…2）式に逆変換公式（1…1）を適用すると、次のように計算できる。
変換公式[2] 例題2の逆変換式の求め方（β>0）
以下、複素起電力関係
注１
式の求め方
注２
式の求め方
別解
