対称三相交流の回路のΔ－Y変換と相順について

（１）相順abcの三相電圧ベクトルと三相電流ベクトル

同じ角周波数の対称三相交流電圧および電流を静止ベクトルで表現すると、相順abcの場合は第１図に示すようになる。第１図では、各相電流ベクトルは各相電圧ベクトルに対して位相角θ遅れた場合を示している。

第１図　対称三相電圧・電流（相順abc）

（２）相順abcのΔ－Y電源電圧ベクトル変換図

相順abcでΔ結線の場合の電源電圧と線間電圧、電源電流と線電流の関係図を第２図に示す。第２図において、Δ結線の各相電圧を\(\dot{E}_{ab}\)、\(\dot{E}_{bc}\)、\(\dot{E}_{ca}\)とし、各相電流を\(\dot{I}_{ab}\)、\(\dot{I}_{bc}\)、\(\dot{I}_{ca}\)とする。

第２図　Δ結線三相電源（相順abc）

Y結線の場合の電源電圧（相電圧）と線間電圧、電源電流と線電流の関係図を第３図に示す。第３図において、Y結線の各相電圧を\(\dot{E}_a\)、\(\dot{E}_b\)、\(\dot{E}_c\)とし、各相電流を\(\dot{I}_a\)、\(\dot{I}_b\)、\(\dot{I}_c\)とする。

第３図　Y結線三相電源（相順abc）

上記のΔ結線とY結線の電源電圧の変換対応図を第４図に示す。E_abはE_aと −E_bのベクトル和（\(\dot{E}_{ab}=\dot{E}_a-\dot{E}_b\)）になる。Δ結線の各相電圧ベクトルは、破線でΔ結線されている状態を示し、実線で各相電圧ベクトルの矢尻を中心に移動した状態を示している。第４図より、相順abcの場合、E_aはE_abに対し位相が30°遅れ、大きさが1/\(\sqrt{3}\)倍であることが判る。

第４図　Δ結線\(\dot{E}_{ab}\)とY結線\(\dot{E}_a\)の電源電圧ベクトル変換対応図（相順abc）

第４図より得られる、E_abとE_aの簡易的な電圧ベクトル変換図を第５図に示す。第５図では、相順abcの場合の\(\dot{E}_a\)の位相が\(\dot{E}_{ab}\)に対し30°遅れ、大きさが1/\(\sqrt{3}\)倍になることを、逆に、E_abの位相がE_aに対し30°進み、大きさが\(\sqrt{3}\)倍になることを示している。

第５図　Δ結線EabとY結線Eaの簡易的な電圧ベクトル変換図（相順abc）

（３）相順abcのΔ－Y電源電流ベクトル変換図

相順abcの場合のΔ結線とY結線の電源電流ベクトル変換図を第６図に示す。I_aはI_abと－\(\dot{I}_{ca}\)のベクトル和（\(\dot{I}_a=\dot{I}_{ab}-\dot{I}_{ca}\)）となる。第６図より、\(\dot{I}_a\)は\(\dot{I}_{ab}\)に対し位相が30°遅れ、大きさが\(\sqrt{3}\)倍であることが判る。

第６図　Δ結線\(\dot{I}_{ab}\)とY結線\(\dot{I}_a\)の電源電流ベクトル変換対応図（相順abc）

第６図より得られる、\(\dot{I}_{ab}\)と\(\dot{I}_a\)の簡易的な電源電流ベクトル変換図を第７図に示す。第７図では、相順abcの場合のI_aの位相がI_abに対し30°遅れ、大きさが\(\sqrt{3}\)倍になることを、逆に、I_abの位相がI_aに対し30°進み、大きさが1/\(\sqrt{3}\)倍になることを示している。

第７図　Δ結線\(\dot{I}_{ab}\)とY結線\(\dot{I}_a\)の簡易的な電源電流ベクトル変換図
（相順abc）

（４）負荷側のΔ結線及びY結線（相順abc）

負荷側に関して、相順abcの場合のΔ結線及びY結線の電圧電流の関係図を第８図及び第９図に示す。負荷側電圧のΔ－Ｙ変換図は、電源側の第４図及び第５図と同様である。ただし、Δ電源電圧\(\dot{E}_{ab}\)、\(\dot{E}_{bc}\)、\(\dot{E}_{ca}\)をΔ負荷側電圧\(\dot{V}_{ab}\)、\(\dot{V}_{bc}\)、\(\dot{V}_{ca}\)に表記を変える必要がある。その場合の簡易電圧ベクトル変換図を第10図に示す。負荷側電流のΔ－Y変換図に関しては、第11図及び第12図のようになる。

第８図　Δ結線三相負荷（相順abc）

第９図　Y結線三相負荷（相順abc）

第10図　Δ電圧\(\dot{V}_{ab}\)とY電圧\(\dot{E}_a\)の簡易的な負荷電圧ベクトル変換図
（相順abc）

第11図　Δ結線\(\dot{I}_{ab}\)とY結線\(\dot{I}_a\)の負荷電流ベクトル変換対応図（相順abc）

第12図　Δ結線\(\dot{I}_{ab}\)とY結線\(\dot{I}_a\)の簡易的な負荷電流ベクトル変換図
（相順abc）

第10図では、負荷側電圧の場合、第５図に示す電源電圧と同様、\(\dot{E}_a\)は\(\dot{V}_{ab}\)に対し大きさが1/\(\sqrt{3}\)倍、位相が30°遅れとなることを示している。

第12図では、第７図に示す電源電流と同様、\(\dot{I}_a\)は\(\dot{I}_{ab}\)に対し大きさが\(\sqrt{3}\)倍、位相が30°遅れとなることを示している。ただし、位相の進み遅れの関係は、電源電流と同じであるが、負荷側各電流の向きは電源側の反対向きになっていることに注意が必要である。

（５）相順acbの三相電圧ベクトルと三相電流ベクトル

一方、相順acbの場合の対称三相交流電圧および電流を静止ベクトルで表現すると、第13図に示すようになる。各相電流ベクトルは各相電圧ベクトルに対して位相角θ遅れた場合を示している。

第13図　対称三相電圧・電流（相順acb）

（６）相順acbの電源電圧ベクトル変換図

相順abcの場合の三相電源電圧・電流の関係図（第２図、第３図）に対し、相順acbの場合は、第14図、第15図のようになる。

第14図　Δ結線三相電源（相順acb）

第15図　Y結線三相電源（相順acb）

相順abcの場合の電源電圧ベクトル変換図（第４図、第５図）に対し、相順acbの場合は、第16図、第17図のようになる。即ち、第17図では、相順acbの場合の\(\dot{E}_a\)の位相が\(\dot{E}_{ab}\)に対し30°進み、大きさが1/\(\sqrt{3}\)倍になり、逆に、\(\dot{E}_{ab}\)の位相がE_aに対し30°遅れ、大きさが\(\sqrt{3}\)倍になることを示している。これらの位相関係は、相順abcの場合とは異なることに注意が必要である。

第16図　Δ結線\(\dot{E}_{ab}\)とY結線\(\dot{E}_a\)の電源電圧ベクトル変換対応図（相順acb）

第17図　Δ結線\(\dot{E}_{ab}\)とY結線\(\dot{E}_a\)の簡易的な電源電圧ベクトル変換図
（相順acb）

（７）相順acbの電源電流ベクトル変換図

次に、相順abcの場合の電源電流ベクトル変換図（第６図、第７図）に対し、相順acbの場合は、第18図、第19図のようになる。

第18図　Δ結線\(\dot{I}_{ab}\)とY結線\(\dot{I}_a\)の電源電流ベクトル変換対応図（相順acb）

第19図では、相順acbの場合の\(\dot{I}_a\)の位相が\(\dot{I}_{ab}\)に対し30°進み、大きさが\(\sqrt{3}\)倍になり、逆に、I_abの位相がI_aに対し30°遅れ、大きさが1/\(\sqrt{3}\)倍になることを示している。これらの位相関係は、相順abcの場合とは異なることに注意が必要である。

第19図　Δ結線\(\dot{I}_{ab}\)とY結線\(\dot{I}_a\)の簡易的な電源電流ベクトル変換図
（相順acb）

８．負荷側のΔ結線及びY結線（相順acb）

相順abcの場合の負荷側の電圧・電流ベクトル変換図、第８図～第12図に対し、相順acbの場合は第20図～第24図のようになる。

第20図　Δ結線三相負荷（相順acb）

第21図　Y結線三相負荷（相順acb）

第22図　Δ電圧\(\dot{V}_{ab}\)とY電圧\(\dot{E}_a\)の簡易的な負荷電圧ベクトル変換図
（相順acb）

第23図　Δ結線\(\dot{I}_{ab}\)とY結線\(\dot{I}_a\)の負荷電流ベクトル変換対応図（相順acb）

第24図　Δ結線\(\dot{I}_{ab}\)とY結線\(\dot{I}_a\)の簡易的な負荷電流ベクトル変換図
（相順acb）

第22図では、相順acbの場合、第17図に示す電源電圧と同様、\(\dot{E}_a\)は\(\dot{V}_{ab}\)に対し大きさが1/\(\sqrt{3}\)倍、位相が30°進みとなることを示している。

第24図では、第19図に示す電源電流と同様、\(\dot{I}_a\)は\(\dot{I}_{ab}\)に対し大きさが\(\sqrt{3}\)倍、位相が30°進みとなることを示している。ただし、位相の進み遅れの関係は同じであるが、各電流の向きが反対になっていることに注意が必要である。

２．例題

簡易電源電圧ベクトル変換図、第５図（相順abc）及び第17図（相順acb）を用い、\(\dot{E}_a\)の位相が\(\dot{E}_{ab}\)に対し遅れるか進むかを判断することで解答を導くことができる例を示す。

【例題１】
相電圧200 [V]の対称三相交流電源に、複素インピーダンス\(\dot{Z}=5\sqrt{3}+j5\) [Ω] の負荷をＳ接続した平衡三相負荷を接続した回路がある。次の(a)及び(b)に答えよ。

(a) 相順abc（第25図）の時の各相電流の大きさ及び位相を求めよ。

(b) 相順acb（第26図）の時の各相電流の大きさ及び位相を求めよ。

第25図

第26図

【解答】

(a)

(b)

2012年三種理論問16類題

（ａ）線電流を求めたいので、Y-Y結線で考える。

第27図に電源をΔ→Y変換したときの１相分の等価回路を示す。Δ結線電源電圧\(\dot{E}_{ab}\)をY結線電源電圧\(\dot{E}_a\)に変換すると、第28図に示すように電圧の大きさは1/\(\sqrt{3}\)、位相は30°遅れる(本文第５図参照)。

第27図

第28図

極形式を用い、Δ結線電源\(\dot{E}_{ab}=200\angle0°\) [V] をΔ→Y変換すると、
\(\dot{E}_a=\frac{200}{\sqrt{3}}\angle-30°\) [V] となる。

これより電源Ｙ－負荷Ｙに対する線電流を、E_abを基準ベクトルとして求める。
インピーダンスは\(\dot{Z}=5\sqrt{3}+j5=10\angle30°\) [Ω] なので、

したがって、各線電流は、第28図に示すように、

となる。

（ｂ）相順acbの場合において、電源をΔ→Y変換したときの１相分の等価回路を第29図に示す。Δ結線電源電圧\(\dot{E}_{ab}\)をY結線電源電圧\(\dot{E}_a\)に変換すると、第30図に示すように電圧の大きさは1/\(\sqrt{3}\)、位相は30°進む（本文第17図参照）。

第29図

第30図

極形式を用い、Δ結線電源\(\dot{E}_{ab}=200\angle0°\) [V] をΔ→Y変換すると、\(\dot{E}_a=\frac{200}{\sqrt{3}}\angle30°\) [V] となる。

これより電源Ｙ－負荷Ｙに対する線電流を、\(\dot{E}_{ab}\)を基準ベクトルとして求める。

したがって、各線電流は、第30図に示すように、

となる。電流の大きさは相順abcの場合と同じであるが、位相が異なってくる。